¿Cómo varía el tiempo de desplazamiento de un objeto en un plano inclinado, al cambiar la inclinación del plano?
Introducción
Se analizará la variación del tiempo de desplazamiento de un objeto en un plano inclinado, evaluado con distintas alturas del plano; manteniendo constante la masa del objeto y la longitud del plano. El interés en este fenómeno recae en el análisis de situaciones cotidianas tales como deportes, con el desplazamiento de pelotas en cuestas. Una situación de ejemplo, una pelota de soccer que rueda cuesta abajo en una pendiente, generando preguntas tales como: ¿Cuánto tardará en llegar hasta abajo? y, por tanto, ¿cuánto tiempo dispone una persona para recoger esa pelota antes de que llegue al final de la pendiente, dependiendo de la altura de la misma?
Teoría del fenómeno
El plano inclinado se define como una superficie lineal, que por su posición forma un ángulo respecto a un eje horizontal. Este fue estudiado por Galileo Galilei en el siglo XVII, para evaluar el desplazamiento de los objetos a través de él. En específico, la relación del tiempo con el ángulo de inclinación o altura del plano, está dada por la siguiente ecuación de tipo racional
Teniendo en consideración que la aceleración de un objeto en un plano inclinado está dada por la ecuación:
Puede considerarse que la relación entre el tiempo y el ángulo de inclinación del plano, está dada por la ecuación:
Que se obtiene a partir del despeje de la siguiente ecuación:
Variables
Por un lado, la variable dependiente del fenómeno es el tiempo que tarda en completarse el desplazamiento del objeto por el plano inclinado, mientras que la variable independiente es el ángulo de inclinación de dicho plano. La relación propuesta entre las variables, proviene de la observación, de la hipótesis de que con la altura se modifica el ángulo de inclinación, cuyo aumento
o disminución en el valor de la pendiente facilita o dificulta el desplazamiento del objeto, aumentando o disminuyendo el tiempo, dependiendo del caso.
Diseño Experimental
Materiales
- Tabla de madera
- Cronómetro
- Cinta métrica
- Pelota chica
- Rectángulos de madera
- Soportes
- Transportador
- Calculadora
Método
El primer paso es medir cuál es la longitud de la tabla de madera; posteriormente con ayuda de los rectángulos de madera y los soportes, colocar la tabla de madera en posición diagonal, de manera que cada uno de sus extremos longitudinales quede apoyado en una superficie, por ejemplo, un extremo apoyado a la pared y el otro al suelo, formando así, una silueta semejante a una escuadra. Una vez hecho lo anterior, medir el ángulo de inclinación del plano inclinado con ayuda de un transportador y la altura del plano con la cinta métrica. Después, colocar la pelota en la parte superior del plano inclinado formado con la tabla; dejar rodar la pelota sin ejercer fuerza para su movimiento y con el cronómetro registrar cuánto tiempo tardó en llegar al final del plano. Repetir como mínimo tres veces la medida del tiempo, una vez obtenidas las medidas, obtener la media aritmética de las medidas que resultaron para cada altura y anotarlas en una tabla de resultados. Finalmente, modificar la posición de la tabla para cambiar el ángulo de inclinación del plano y su altura y repetir el proceso de medición del tiempo.
Mecanismos de Control
1. La pelota utilizada en todas las mediciones será la misma, por lo tanto, la masa del objeto en movimiento en el plano permanecerá constante.
2. La tabla de madera será la misma para cada una de las mediciones, por lo cual la longitud del plano inclinado también será constante.
3. Todas las mediciones serán realizadas en el mismo espacio físico, por lo cual las condiciones ambientales no tendrán variaciones significativas entre cada medición.
4. Las herramientas de medición (cronómetro y transportador) serán las mismas durante el proceso de toma de medidas.
Recolección de resultados
A continuación, se muestra la tabla de mediciones, obtenida de realizar 15 veces el proceso experimental.
Tabla 1. 15 valores resultantes del proceso experimental
A partir de la tabla anterior, se generó una gráfica de dispersión con el software Excel, la cual, es la siguiente.
Figura2. Gráfica de dispersión de Tiempo vs Ángulo de Inclinación
Análisis de resultados
El ajuste de la curva, en orden de generar un modelo matemático lo más acertado posible, implicó la elección de una ecuación de tipo polinomial. Dicha ecuación expresada como:
Si utilizamos las mismas variables de la ecuación original que describe el fenómeno, la generada estaría expresada como:
Por tanto, la comparativa entre la ecuación generada y la original, es la siguiente. Ecuación original que describe el fenómeno Ecuación generada que describe el fenómeno
Un aspecto importante que destacar es la cantidad de variables implícitas en cada uno de los modelos, mientras que el primero posee 3 (tiempo, distancia, y aceleración expresada como la gravedad por el seno del ángulo de inclinación), el segundo modelo, únicamente tiene dos (tiempo y ángulo de inclinación). Al eliminar la variable de la distancia, el modelo generado únicamente puede ser utilizado para replicar escenarios en los cuales la distancia (o longitud del plano inclinado), sea la misma que la utilizada para el presente experimento, es decir 0.94 metros. Por su parte, el cálculo de incertidumbre, que presenta un valor de la resta de uno a 0.9332, de acuerdo con lo calculado por el software Excel, tiene su por qué en los posibles errores humanos, y el grado de imprecisión consecuente de las herramientas de medición no especializadas que fueron usadas durante el experimento, lo cual se traduce en la posible inexactitud del modelo matemático.
Referencias
Universidad Nacional Autónoma de México. (2020). Plano Inclinado. B@UNAM de la
Coordinación de Universidad Abierta, Innovación Educativa y Educación a Distancia de la
UNAM. http://uapas2.bunam.unam.mx/matematicas/plano_inclinado/
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